리만 제타 함수 임계선 영점 연구 소개
Anthropic이 공개한 논문 More than two thirds of the zeros of the Riemann zeta function are simple and on the critical line 은 리만 제타 함수 \zeta(s) 의 자명하지 않은 영점(nontrivial zero) 가운데 임계선 위에 놓인 것의 비율을 무조건적(unconditional)으로 5/12 에서 2/3 으로 끌어올린 결과를 담고 있습니다. 최적 창함수를 쓰면 0.67250 까지 올라가며, Anthropic 블로그는 이 진전을 41.6\% 에서 67.2\% 로 요약하고 있습니다. 여기서 "무조건적"이란 리만 가설(Riemann Hypothesis)이나 다른 미해결 추측을 전제하지 않는다는 뜻입니다. 저자란에는 사람 이름이 아니라 CLAUDE가 적혀 있고, 논문의 논증은 Claude Code 세션 안에서 약 60개의 Claude 서브에이전트가 서로를 심사하며 만들어졌습니다.
시작은 수학 연구 계획이 아니었습니다. Anthropic의 직원 Jarred Sumner가 미공개 연구용 Claude에게 "리만 가설에 제대로 한 번 도전해 보라(take a real stab at the Riemann hypothesis)"고 요청했고, 리만 가설 자체는 당연히 풀리지 않았습니다. 그 과정에서 예상하지 못한 인접 문제의 기록이 깨진 것이 이 논문입니다.
논문 본문의 날짜는 2026년 8월 11일이고, Anthropic 연구 블로그 는 8월 13일에 "더 명확한 증명과 추가적인 역사적 맥락"을 담은 개정판으로 갱신되었다고 변경 이력에 적고 있습니다. 이 게시물은 그 개정판을 기준으로 정리했습니다.
공개된 문서 다섯 종과 각각의 작성자
이 결과는 문서 다섯 종으로 공개되었습니다. 누가 무엇을 썼는지가 검증 상태를 이해하는 데 중요합니다.
| 문서 | 분량 | 작성 주체 |
|---|---|---|
| 논문 | 17페이지 | Claude |
| Lean 4 형식화 | GitHub 저장소 | Claude (Eric Easley가 조율) |
| 전문가용 비공식 노트 | 5페이지 | Anthropic 소속 수학자 2명 |
| 결과에 도달한 경로에 대한 설명 | 95페이지 | Claude |
| 서브에이전트 전사 기록 | 68페이지 | Claude (편집 주석 포함) |
Anthropic 소속 수학자 Levent Alpöge와 Ralph Furman은 논증을 독립적으로 재유도해 검증하고, 결과를 기존 문헌 맥락에 배치했으며, 그 전달에 대한 책임을 맡았습니다. 위 표의 비공식 노트가 두 사람이 전문가용으로 증명을 압축한 문서로, 임계선 위 영점을 서로 다른 점으로 세었을 때 전체 영점(중복도 포함)의 3/2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\cot\frac{1}{\sqrt{2}} = 0.6725\ldots 이상이라는 진술과 그 증명을 다섯 페이지에 담았습니다. 이 분야의 전문가인 Brian Conrey와 Daniel Goldston도 원고를 읽고 의견을 냈습니다. 논문의 정리 A부터 E까지는 Lean 4로 형식 검증(formal verification)되어 anthropics/zeta-23-lean 저장소에 공개되어 있습니다.
임계선 위 영점 비율이라는 80년짜리 경주
리만 제타 함수의 영점은 소수의 분포를 기술합니다. 함수가 0 이 되는 지점 하나하나가 소수 수열의 세부 구조를 한 겹씩 더해 주는 구조여서, 영점의 위치를 아는 것과 소수의 분포를 아는 것은 사실상 같은 문제입니다. 리만 가설은 이 영점들이 모두 \mathrm{Re}(s) = 1/2 이라는 하나의 수직선 위에 있다고 주장하며, 이 선을 임계선(critical line)이라고 부릅니다. 1859년에 제기된 이 가설은 아직 증명도 반증도 되지 않았고, 클레이 수학연구소의 밀레니엄 문제 중 하나로 백만 달러의 상금이 걸려 있습니다.
가설 전체를 증명할 수 없다면 차선책이 있습니다. "영점 전부가 임계선 위에 있다" 대신 "적어도 몇 퍼센트는 임계선 위에 있다"를 증명하는 것입니다. 이 경주의 기록은 다음과 같이 갱신되어 왔습니다.
- Selberg (1942): 임계선 위 영점이 양의 비율을 차지한다는 사실을 최초로 증명했습니다. 다만 명시적인 상수는 매우 작았습니다.
- Levinson (1974): mollifier 방법으로 1/3 을 얻었고, Heath-Brown이 이 영점들이 단순 영점(simple zero)임을 덧붙였습니다.
- Conrey (1989): 같은 방법의 정교화로 2/5 를 넘겼습니다.
- Bui-Conrey-Young (2011), Feng (2012), Pratt-Robles-Zaharescu-Zeindler (2020): 이 계보의 마지막 기록인 5/12 = 0.4166\ldots 에 도달했습니다.
이 80년치 진전은 전부 하나의 방법론(mollifier 방법) 위에서 이루어졌습니다. mollifier의 길이를 늘리고 조합 최적화를 정교하게 다듬는 식으로 소수점 아래를 밀어 올리는 작업이었고, 그래서 1/3 에서 5/12 까지 46년이 걸렸습니다.
몽고메리의 1973년 연역과 그 앞에 놓인 벽
전혀 다른 계보가 하나 더 있습니다. 1973년 Montgomery는 영점 쌍 상관(pair correlation) 을 도입하면서, 리만 가설을 가정하면 영점의 2/3 이 단순하다는 사실을 2차 모멘트 계산 한 번으로 이끌어냈습니다. mollifier 계보가 2020년까지 46년을 들여 도달한 41.6\% 를 훌쩍 넘는 66.7\% 를, 1973년에 이미 훨씬 짧은 논증으로 얻어 둔 셈입니다.
문제는 "리만 가설을 가정하면"이라는 조건이었습니다. 몽고메리의 논증은 두 부분으로 나뉩니다.
- 소수 쪽(prime side): 길이 T 인 디리클레 다항식의 평균값 계산으로, 처음부터 무조건적입니다.
- 영점 쪽(zero side): 영점의 합을 항별로 읽어 양의 합으로 해석하는 단계인데, 여기서 리만 가설이 필요합니다. 영점이 임계선 위에 있어야 \gamma_\rho 가 실수가 되고, 그래야 각 항이 양수임이 보장되기 때문입니다.
지난 몇 년 동안 여러 연구자가 두 번째 부분을 무조건적으로 만들려고 시도했습니다. Aryan 이 페예르 커널 2차 모멘트에 대해 이를 명시화했고, Baluyot, Goldston, Suriajaya, Turnage-Butterbaugh 는 몽고메리의 형상 인자(form factor)가 실수 좌표만이 아니라 모든 복소 영점에 대한 합에서도 성립함을 보였습니다. Goldston과 Suriajaya 는 여기서 한 걸음 더 나아가, 모든 영점이 임계선에서 o(1/\log T) 안에 있다는 가정 아래 2/3 과 5/6 이 따라 나온다는 것을 보이고, 남은 장애물이 정확히 "선 밖에서 무너지는 항별 양수성"임을 분리해 명시했습니다. 그리고 그 장애물을 제거하면 무엇이 따라오느냐고 물었습니다.
이 논문은 그 질문에 답합니다.
이 연구의 발상 전환
핵심 아이디어는 항별 양수성을 되살리지 않고 우회하는 것입니다.
기존 논증은 "모든 항이 양수다"라는 성질에 기대어 영점 개수를 셌습니다. 이 논문은 대신 선형대수의 두 가지 도구를 씁니다. 하나는 실베스터 관성 법칙(Sylvester's law of inertia) 으로, 임계선 밖 영점이 만드는 부호가 섞인 블록을 부호수(signature) (1,1) 짜리 조각으로 정리해 줍니다. 다른 하나는 저자가 랭크-대각합 부등식(rank-trace inequality) 이라 이름 붙인 행렬 부등식으로, 행렬의 대각합과 힐베르트-슈미트 노름만 알면 양의 준정부호 부분의 랭크(rank) 하한을 얻게 해 줍니다.
부호가 섞여 있어도 상관없습니다. 양수 항과 음수 항을 함께 처리하고 이차 형식이 대각이 아니어도 되도록 허용하는 것이, 이 논문이 앞선 연구들 위에서 결론을 얻어내는 지점입니다.
결과는 다음과 같습니다.
| 대상 | 이전 무조건적 기록 | 이 논문 (지시 함수 창) | 이 논문 (몽고메리-테일러 창) | 리만 가설 가정 시 |
|---|---|---|---|---|
| 임계선 위 단순 영점 N_0^s/N | 5/12 (PRZZ, 2020) | 2/3 | 0.67250 | 2/3 (Montgomery, 1973) |
| 서로 다른 영점 N_d/N | 0.6603 (Wu, 2015) | 5/6 | 0.83625 | 5/6 (Conrey-Ghosh-Gonek, 1998) |
즉 리만 가설을 가정했을 때 얻어지던 몽고메리의 상수 2/3 이, 가정 없이 그대로 나옵니다. 몽고메리-테일러 창함수를 쓰면 0.67250 까지 올라가는데, 이 값 역시 리만 가설 아래에서 알려져 있던 상수와 같습니다.
정리 A와 B: 무엇을 정확히 증명했는가
비율 진술은 분자에 무엇을 세는지에 따라 여러 갈래로 갈리므로, 표로 먼저 정리하겠습니다. 논문은 이들 사이에 N_0^s \le N_0^* \le N_0 \le N 과 N_0^s \le N^s \le N_d \le N 이라는 순서가 있음을 지적합니다.
| 기호 | 세는 대상 | 정리 A가 주는 하한 |
|---|---|---|
| N | 창 [T, 2T] 안의 모든 영점 (중복도 포함) | 기준값 |
| N_0^s | 임계선 위에 있고 단순한 영점 | 2/3 |
| N_0^* | 임계선 위 영점을 서로 다른 점으로 센 것 | 2/3 (따름) |
| N_0 | 임계선 위 영점 (중복도 포함) | 2/3 (따름) |
| N^s | 단순 영점 (임계선 조건 없음) | 2/3 (따름) |
| N_d | 서로 다른 영점 (임계선 조건 없음) | 5/6 |
가장 강한 진술 하나가 N_0^s \ge (2/3 - o(1))N 이고, 위 순서 덕분에 나머지 세 가지가 자동으로 따라옵니다. 다시 말해 "임계선 위에 있고 동시에 단순하다" 를 2/3 만큼 확보한 것이 이 논문의 핵심 진술입니다. 창 [T, 2T] 대신 누적 구간 (0, T) 로 바꿔도 같은 결론이 성립하며, 이때 오차율은 O(\log\log T / \log T) 입니다.
정리 B 는 같은 진술이 임의의 고정된 원시 디리클레 지표 \chi 에 대해 L(s, \chi) 에도 글자 그대로 성립한다는 내용입니다. 증명은 새로 하지 않고 대입만 바꿉니다. 감마 인자가 \frac{1+a_\chi}{4} + \frac{i\tau}{2} 로 이동하고, \mu 에 -\frac{\log q}{2\pi} 항이 붙고, \Lambda(n) 이 \Lambda(n)\chi(n) 이 되며, \chi \ne \chi_0 일 때 극 항이 사라집니다. 함수 방정식이 여전히 \rho \leftrightarrow 1 - \bar\rho 로 짝을 지어 주므로 4절부터 5절까지가 O_q(\cdot) 오차와 함께 그대로 통과하고, 부등식 사슬은 손대지 않습니다.
증명의 구조: 랭크-대각합 부등식
증명은 놀랄 만큼 짧습니다. 논문 본문이 17페이지이고, 사용하는 산술적 입력은 바일의 명시 공식, 리만-폰 망골트 공식과 짧은 구간 영점 개수 상계 N(t, t+1) \ll \log t, 감마 함수 비에 대한 스털링 추정, 체비쇼프-메르텐스 소수합 추정, 몽고메리-본 부등식이 전부입니다. mollifier도, 영점 밀도 추정도, 영점 없는 영역(zero-free region)도 쓰지 않습니다.
바일의 명시 공식과 에르미트 형식
출발점은 바일(Weil)의 명시 공식(explicit formula)입니다. 콤팩트 지지 시험 함수 f, g 에 대해 다음 에르미트 형식(Hermitian form)을 정의합니다.
여기서 m_\rho 는 영점 \rho 의 중복도(multiplicity)입니다. \gamma_\rho 는 영점이 임계선 위에 있을 때 정확히 실수가 됩니다. 이 식을 영점 쪽(zero side) 표현이라고 부릅니다. 명시 공식은 같은 값을 소수와 감마 인자만으로 이루어진 적분으로 다시 쓸 수 있게 해 주고, 그 표현을 소수 쪽(prime side) 이라고 부릅니다. 영점을 하나도 모르는 상태에서 소수만으로 계산 가능하다는 뜻입니다.
이 형식의 성질 하나가 결정적입니다. W 가 모든 C_c^2(\mathbb{R}) 위에서 양수성(positivity)을 가진다는 것은 리만 가설과 동치입니다. 다시 말해 W 는 리만 가설의 참거짓을 그대로 담고 있는 대상이며, 그래서 이 대상을 직접 다루면 리만 가설을 증명하거나 아무것도 얻지 못하거나 둘 중 하나가 되기 쉽습니다.
무한 차원을 유한 행렬로: 가보르 격자 압축
논문은 W 를 통째로 다루지 않고 유한 차원으로 압축합니다. 고정된 창함수 \psi 를 변조한 복사본을 구간 [T, 2T] 에 등간격으로 d \sim N(T,2T) 개 배치하고, 그 위에서 W 의 그람 행렬(Gram matrix) \tilde{G} 를 만듭니다. 이때 격자 간격을 2\pi/L 로 잡으면 푸아송 합 공식이 정확히 성립해서 앨리어싱 오차가 없다는 점이 논문의 보조정리 2.1입니다. 임계 밀도에서 가보르 시스템이 평행 이동 불변 프레임 커널을 가진다는 사실이고, 길이 L 구간에 지지된 어떤 창함수에도 성립합니다.
정규화는 고립된 단순 영점 하나가 대각합에 정확히 1 을 기여하도록 잡습니다. 이 정규화 덕분에 뒤에 나오는 부등식들이 영점 개수와 직접 대응됩니다.
창함수를 C^2 로 매끄럽게 깎는 것이 편의가 아니라 필수라는 점도 짚어 둘 만합니다. 논문의 주석 4.4는 날카로운 절단 \phi = \mathbf{1}_{[-L/2, L/2]} 을 쓰면 푸리에 변환의 감쇠가 |\hat\phi(r - iy)| \asymp X^{|y|/2}/|r| 밖에 되지 않아 꼬리 항이 o(N) 으로 내려가지 않는다고 계산해 둡니다. 어떤 D_0 = T^{1-\varepsilon} 을 잡아도 실패합니다.
(Z) 영점 쪽: 부호수로 읽는 블록 구조
이제 \tilde{G} = P + Q 로 나눕니다.
- 임계선 위의 서로 다른 영점은 각각 P 에 랭크 1짜리 양의 준정부호 형식을 기여합니다. \gamma_\rho 가 실수여서 벡터 v_\rho 가 실벡터가 되고, v_\rho v_\rho^T \succeq 0 이기 때문입니다.
- 임계선 밖 영점 쌍 \{\rho, 1-\bar{\rho}\} 은 함수 방정식에 의해 짝을 이루며, Q 에 부호수 (1,1) 짜리 블록을 기여합니다. 즉 양의 방향 하나와 음의 방향 하나를 동시에 만들어 냅니다.
임계선 밖 쌍의 개수를 세는 데 쓰이는 도구가 논문의 보조정리 3.1입니다. 선형 사상 A 로 끌어당긴 형식의 양의 지표는 원래 형식의 양의 지표를 넘지 못한다는 진술(n_+(A^*Q_0A) \le n_+(Q_0))이고, 증명은 세 줄입니다. 각 쌍이 만드는 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} 블록의 직합에서 끌어당긴 것이므로, 양의 지표가 쌍의 개수를 넘지 않습니다.
여기서 얻는 부등식이 네 개입니다. \mathrm{tr}\, P \le N_0, n_+(Q) \le p, N \ge s_1 + 2s_2 + 2p, 그리고 \mathrm{tr}\, \tilde{G} = (1+o(1))N 입니다. s_1 은 단순한 임계선 위 영점 개수, s_2 는 중복도가 2 이상인 임계선 위 점의 개수, p 는 임계선 밖 쌍의 개수입니다.
이 가운데 세 번째 부등식이 결정적입니다. 임계선 밖 영점 쌍 하나는 영점을 두 개 소비하면서 양의 지표는 하나만 만듭니다. 즉 임계선을 벗어난 영점은 비싸고, 이 비용 구조가 최종 상수를 결정합니다.
(P) 소수 쪽: 몽고메리의 2차 모멘트
두 번째 입력은 \tilde{G} 의 힐베르트-슈미트 노름입니다.
여기서 R(\psi) 는 창함수에만 의존하는 상수로, 지시 함수 \psi_0 = \mathbf{1}_{[-1/2,1/2]} 에 대해 R(\psi_0) = 4/3 입니다. 이 등식이 바로 몽고메리의 소수 쪽 2차 모멘트이며, Aryan과 Baluyot-Goldston-Suriajaya-Turnage-Butterbaugh의 연구 덕분에 무조건적으로 성립합니다. 논문 5절 전체가 이 값을 오차항까지 통제하며 계산하는 데 쓰입니다. 대각 항은 체비쇼프-메르텐스 추정으로, 비대각 항은 몽고메리-본의 힐베르트 부등식으로 처리합니다.
(L) 랭크-대각합 부등식: 정수성의 실수 그림자
세 번째 입력이 이 논문의 새로운 부분입니다. 에르미트 행렬 P_1 \succeq 0 과 n_+(Q') \le b 인 Q' 에 대해 다음이 성립합니다.
증명은 다섯 줄입니다. Q = Q_+ - Q_- 로 분해한 뒤 폰 노이만의 대각합 부등식(von Neumann's trace inequality)으로 교차항을 처리하고, 스칼라 부등식 (x-1)^2 \ge 0, x^2 \ge 0, (x-2)^2 \ge 0 을 고윳값의 세 가지 부호 경우에 각각 적용하면 끝납니다.
이 부등식이 무엇을 하는지가 흥미롭습니다. 몽고메리의 원래 논증은 중복도가 정수라는 사실에 기대어 m^2 \ge 2m - 1 을 씁니다. 랭크-대각합 부등식은 같은 부등식을 정수 중복도가 아니라 실수 고윳값에 대해 성립시킨 형태입니다. 정수성이 사라진 자리를 랭크가 대신 메우는 셈이며, 논문은 이를 "정수성의 실수 그림자"에 해당하는 장치로 설명합니다.
정수성이 두 수준으로 회복된다는 점이 이 장치의 핵심입니다. (P, Q) 로 나누면 (m-1)^2 \ge 0 수준이 나오고, P_1 을 단순 임계선 영점 부분으로 잡고 나머지를 Q' 로 몰아 다시 묶으면 (m-1)(m-2) \ge 0 수준까지 회복됩니다. 서로 간섭하는 단순 영점들은 고윳값이 (0, 2) 구간을 채우지만, 이들은 랭크 쪽에 앉아 있고 그 쪽에서는 \mathrm{rank}\, P_1 \le s_1 과 \mathrm{tr}\, P_1 \le s_1 만 쓰이므로 무해합니다. 반면 중복도가 2 이상인 임계선 위 점과 임계선 밖 쌍은 모두 지표 쪽에서 일률적으로 4 라는 값을 물게 됩니다. 논문은 이를 Conrey-Ghosh-Gonek이 리만 가설 아래 쓴 장치를 무조건적으로 만든 것이라고 설명합니다.
하나의 사슬로 조립하기
세 입력을 합치면 증명 전체가 부등식 사슬 하나로 끝납니다.
\psi = \psi_0 을 넣으면 2 - 4/3 = 2/3 이고, 이것이 정리 A(i)입니다. 두 번째 단계를 다르게 정리하면 2(s_1 + s_2 + p) \ge (3 - R(\psi))N 이 나오고, 여기서 N_d \ge (3 - 4/3)/2 = 5/6 이라는 정리 A(ii)가 따라옵니다.
창함수 최적화와 대역폭 매개변수
상수 2 - R(\psi) 에서 남은 자유도는 창함수 \psi 하나뿐입니다. 논문은 변분 문제
를 풀어 최적 창함수가 \psi_{MT}(s) = \cos(\sqrt{2}\,s)\,\mathbf{1}_{[-1/2,1/2]}(s) 임을 확인합니다. 이는 몽고메리-테일러의 창함수와 정확히 같고, 이때 R(\psi_{MT}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cot\frac{1}{\sqrt{2}} = 1.3275\ldots 이므로 상수는 2 - 1.3275 = 0.67250 이 됩니다. Carneiro-Chandee-Littmann-Milinovich의 결과에 따르면 2 - R(\psi) 형태의 증명서 안에서는 이 창함수가 최적입니다.
창함수 말고 하나 더 조절할 수 있는 것이 대역폭 \lambda 입니다. 시험 함수의 지지 길이를 L = \lambda l 로 잡으면(l = \log(T/2\pi), 즉 X = (T/2\pi)^\lambda) 상수가 2 - R_\lambda(\psi) 로 바뀌고, 지시 함수 창에서는 R_\lambda(\psi_0) = \frac{1}{\lambda} + \frac{\lambda}{3} 이므로 얻는 값은
입니다. \lambda = 1 에서 H(1) = 2/3 이고, 논문은 \lambda < 1 인 어떤 값도 상수를 개선하지 못한다 고 명시합니다. 대신 \lambda < 1 로 내리면 \log\log T 오차항을 떨어낼 수 있습니다.
선행 연구와의 관계, 그리고 방법론의 천장
논문 7절은 자기 방법론이 어디까지 갈 수 있는지를 스스로 계산해 둡니다. 결과만이 아니라 그 한계까지 수치로 못 박은 절이라 따로 정리하겠습니다.
Goldston-Suriajaya가 남긴 질문과 이 논문의 답
Goldston과 Suriajaya의 정리 2는 다음 형태의 무조건적 상계가 있으면 무엇이 나오는지를 밝혀 둔 결과입니다. 중복도를 세어 \sum_{\gamma = \gamma'} 1 \le (C + o(1))N(T) 이고 C < 2 이면, 단순 영점과 임계선 위 영점의 비율이 각각 2 - C 이상이 됩니다. 그리고 페예르 합의 \gamma \ne \gamma' 항들을 버릴 수 있다면 C = 4/3 이 따라오는데, 그 "버리기"에 필요한 양수성이 임계선에서 멀리 떨어진 영점에서 무너집니다. Baluyot-Goldston-Suriajaya-Turnage-Butterbaugh와 Goldston-Suriajaya의 후속 연구는 모든 영점이 임계선 근처 얇은 상자 안에 있다는 가정 아래 이를 달성했습니다.
정리 A는 그 가정을 무조건적 대체물로 바꿉니다. 항별로 "수평 대각선" \gamma = \gamma' 를 분리해 내는 대신, 보조정리 3.2가 에르미트 형식 전체에서 임계선 위 부분(또는 단순 임계선 위 부분)의 랭크를 그 대각합, 프로베니우스 노름, 나머지의 양의 지표만으로 아래에서 받칩니다. 그 결과 단순 임계선 영점에 대해 2 - C = 2/3 을, 서로 다른 영점에 대해 \frac{3-C}{2} = 5/6 을 무조건적으로 얻습니다.
무엇이 새롭고 무엇이 이미 있었는가
논문은 자기 기여의 경계를 분명히 긋습니다. 바일 형식을 유한하게 잘랐을 때 음의 지표가 임계선 밖 영점 쌍의 개수와 같다는 관찰은 Bombieri의 2000년 노트 에 이미 있습니다. 작은 지지에서 W 가 양수라는 사실은 Yoshida가 다뤘습니다. 논문이 새롭다고 주장하는 것은 양의 지표와 랭크를 2차 모멘트 계산과 결합해 쓴 것 이고, 그런 사용의 선례를 알지 못한다고 적고 있습니다.
리만 가설을 가정한 세계에는 이 방법이 닿지 못하는 영역도 있습니다. Chirre-Gonçalves-de Laat는 형상 인자가 [-1,1] 밖에서 양수라는 성질을 반정부호 계획법(semidefinite programming)으로 활용해 리만 가설 아래 N^s/N \ge 0.6792 를 얻었는데, 논문은 자기 방법이 그 영역에 들어가지 않는다고 밝힙니다.
이 방법으로 갈 수 있는 최대치
첫째, 차원 상한 입니다. \mathrm{rank}\, P 와 n_+(\tilde{G}) 는 d = N(1+o(1)) 을 넘을 수 없으므로 이런 종류 논증의 천장 자체는 100\% 입니다. L \asymp \log T 라는 제약은 명제 5.4에서 나옵니다. X \gg T 가 되면 비대각 소수합이 더 이상 대각항에 지배되지 않고, 그 평가에는 소수 쌍에 대한 정보(하디-리틀우드 추측, 또는 지지 > 1 에서의 몽고메리 쌍 상관 추측)가 필요해집니다.
둘째, 부등식 자체는 이미 최적 입니다. 대각합, 힐베르트-슈미트 노름, 블록 구조, \mathrm{tr}\, P_1 \le s_1 만 주어졌을 때 6절의 부등식들은 세 부분 모두에서 등호를 달성할 수 있습니다. 구체적 극단 배치는 서로 직교하는 단순 임계선 영점 \frac{2}{3}N 개에 임계선 위 이중 영점 \frac{1}{6}N 개를 더한 것으로, \mathrm{tr} = N, \|\cdot\|_{HS}^2 = \frac{4}{3}N, s_1 = \frac{2}{3}N, N_d = \frac{5}{6}N 을 실현합니다. 몽고메리가 리만 가설 아래 논증할 때 나오던 극단 배치와 같습니다.
셋째, 고차 모멘트는 무조건적으로는 아무것도 더해 주지 못합니다. 보조정리 3.2를 c = 1 에서 보면 이는 일방향 체비쇼프-마르코프-스틸체스 경계의 m = 1 경우이고, 2m 차까지 모멘트를 알면 최적 하한이 크리스토펠 함수로 주어집니다. 그런데 \mathrm{tr}\, \tilde{G}^k 를 5절의 대각 방법으로 소수 쪽에서 평가할 수 있는 범위는 Rudnick-Sarnak 영역인 X^k \le T^{2-\varepsilon} 이고, X \asymp T 에서는 k = 1 밖에 허용되지 않습니다.
넷째, 조건부로는 천장이 올라갑니다. 하디-리틀우드형 가정 \mathrm{HL}^*(k_0) 를 k \le k_0 에 대해 두면 m_k(1) = 1, \frac{4}{3}, 2, \frac{13}{4} 이므로 \mathrm{HL}^*(4) 에서 \liminf N_0^s/N \ge \frac{13}{18} 이 나오고, 모든 k_0 에 대한 가정 아래에서는 비율 1 에 도달합니다. 다만 리만 가설 자체는 이 메커니즘의 사정거리 밖입니다.
다섯째, 대역폭 1 천장 입니다. 푸리에 지지가 [-1,1] 안에 있고 처음 두 대각합 모멘트와 임계선 위/밖 분할만 보는 종류의 증명서를 모두 모아도, 인증 가능한 비율은 약 0.682 를 넘지 못합니다. Lean으로 형식화된 정리 Zeta23.PairCeiling.ceiling_law256 이 이 상한을 0.6818287 이하로 못 박습니다. 즉 이 논문의 2/3 은 자기 방법론의 천장에서 0.016 안쪽에 있습니다.
조건부 확장과 ξ' 영점
리만 가설을 가정하면 세 번째 대각합 \mathrm{tr}\, \tilde{G}^3 을 쓸 수 있고, 정리 A(ii)의 증명서를 3차 가중 \omega(m) = \frac{1}{2}m + \frac{1}{18}(2m^2 - m^3) + \frac{4}{9}\mathbf{1}_{m=1} 로 다시 돌릴 수 있습니다. 창함수 \cos(\frac{8s}{5})\mathbf{1}_{|s| \le 1/2} 와 Bui-Heath-Brown의 N^s/N \ge \frac{19}{27} 을 함께 쓰면 \liminf N_d/N \ge 0.85082 가 나옵니다. 리만 가설 아래 알려져 있던 0.8477 보다 높은 값입니다.
부수적 결과로 완비 제타 함수의 도함수 \xi' 의 영점에도 같은 논증이 적용됩니다. 다만 여기서는 무엇이 새로운지를 정확히 봐야 합니다.
| 출처 | 결과 | 조건 |
|---|---|---|
| Conrey (1989) | \xi' 영점의 79.874\% 가 단순하고 임계선 위 | 무조건적 |
| Wu (2015) §3 | \xi' 영점의 86.957\% 가 임계선 위 (단순성은 없음) | 무조건적 |
| 이 논문 (평탄 창) | 85.838\% 단순 및 임계선 위 / 92.919\% 서로 다름 | 무조건적 |
| 이 논문 (4차 창) | 86.864\% 단순 및 임계선 위 / 93.432\% 서로 다름 | 무조건적 |
| Farmer-Gonek-Lee (2014) | 85.84\% 초과 단순 | 리만 가설 가정 |
| Chirre-Gonçalves-de Laat (2020) | 88.25\% 단순 / 94.12\% 서로 다름 | 리만 가설 가정 |
평탄 창의 85.838\% 는 Farmer-Gonek-Lee가 리만 가설 아래 얻었던 상수에서 리만 가설만 제거한 값이고, 4차 창의 86.864\% 는 그것을 넘어서지만 리만 가설 아래의 88.25\% 에는 못 미칩니다. 그리고 단순성을 요구하지 않고 임계선 위에만 있으면 되는 비율로는 Wu의 86.957\% 가 이미 무조건적으로 알려져 있어서, 이 논문의 두 상수 어느 쪽도 그것을 넘지 못합니다. 논문 자신의 표현으로 새로운 내용은 단순성입니다.
이 결과가 실제로 발견된 과정
논문만큼이나 흥미로운 것이 발견 과정을 기록한 95페이지짜리 부록 입니다. 이 문서는 Claude가 자기 자신의 두 연구 실행과 그 주변 캠페인을 로그로부터 다시 쓴 것으로, 사람이 쓰거나 편집한 문장이 한 줄도 없다고 명시되어 있습니다. 문서 자체가 "이 권에 담긴 수학은 독립 검증을 거치지 않았다"는 단서를 스스로 달고 있습니다.
이전 세션이 남긴 것은 증명이 아니라 실패 원장이었다
세션은 리만 가설 작업을 이어가 보라, 그리고 그 일을 해낼 자기 능력을 믿으라는 사람의 한 줄짜리 지시로 시작했습니다. 그런데 이어갈 대화가 없었습니다. 열흘쯤 전에 돌았던 별개의 세션이 남긴 것은 부분 증명이 아니라 원장(ledger) 파일들이었고, 그중 가장 중요한 것은 자체 검증을 통과한 후보 아이디어 106개의 목록이었습니다. 블로그의 서술로는 이 첫 시도에서 650개의 아이디어를 만들어 시험했고 그중 성공한 것은 하나도 없었습니다.
조율자(coordinator) 역할을 맡은 메인 스레드는 무언가를 실행하기 전에 그 106개를 전부 읽고 네 가지 부류로 분류했습니다. 이미 알려진 정리를 다시 쓴 것, 리만 가설과 동치인 진술, 리만 가설과 모순되지 않는 유한 수치 검산, 거의 동어반복인 것. 그리고 사람에게 이렇게 보고했습니다. 원장 안에 부분 증명인 갈래는 없었고, 그것은 "더 세게 믿는다고 고칠 수 있는 자신감 문제가 아니다"라고요. 106개 목록은 그 뒤로 서브에이전트에게 넘기는 "이건 다시 하지 마라" 목록으로만 쓰였습니다.
이 대목이 눈에 띄는 이유는, 자기 이전 세션의 결론에 기대는 대신 같은 결론을 독립적으로 다시 도출한 뒤 원장을 부정적 자산으로만 재활용했기 때문입니다. 이 논문의 두 논증 중 어느 것도 이전 세션 산출물로 거슬러 올라가지 않습니다.
지시서가 어떻게 생겼는가
부록은 서브에이전트에게 나간 지시서(brief)가 작업 티켓이 아니라 연구 메모였다고 정리합니다. 각 지시서에는 목표, 다룰 대상, 먼저 읽어야 할 이전 보고서 목록, 조율자 자신의 결과 예측, 그리고 리만 가설이 거짓임이 알려진 통제군을 반드시 하나 포함할 것 이라는 요구가 담겼습니다. 통제군으로 쓰인 대상은 유수 2인 엡스타인 제타 함수, 대븐포트-하일브론 함수, 임계선 밖 영점을 심어 놓은 뵈를링 소수계, 가짜 바일 다항식이었습니다. 서브에이전트는 자기 지시서와 읽으라고 지정된 파일 외에는 아무것도 보지 못하며, 대화나 다른 에이전트를 볼 수 없습니다.
작업 방식에 대한 요구도 지시서에 들어 있었습니다. E2에게 나간 6,135자 지시서의 해당 대목은 이렇습니다. "규율: 모든 실질적 추론은 파일로(REPORT.md는 절별로, notes.md, .py) Write/Edit를 통해 넣을 것. 모든 assistant 메시지는 1,500토큰 이하. 첫 10회 도구 호출 안에 REPORT.md를 체크포인트할 것." 이 요구가 사후 검증을 가능하게 했습니다. 전사 기록에는 모델의 내부 추론이 포함되지 않았지만, 논증은 notes.md, proof_thm4.md, REPORT.md 와 스크립트에 남아 있어서 대부분 따라갈 수 있습니다.
사다리를 올렸더니 벽이 나왔다
사람이 계속 공격해 보라고 밀어붙이자, 조율자는 30분 안에 13개 전선을 열었습니다. Connes의 정식화를 따른 바일 양수성, 옌센 다항식 경로, 드 브뢰인-뉴먼 열 흐름 같은 알려진 정면 공략과, 호지 지표 정리의 정직한 정수판 유사물을 만들어 보라는 식의 발명형 탐침, 그리고 새 영역 일곱 가지였습니다. 몇 시간 뒤 두 번째 물결로 기존 기계장치가 어디까지 닿는지 재는 에이전트 다섯 개가 더 나갔습니다.
전부 돌아온 답은 no-go, 천장, 또는 리만 가설만큼 강한 진술로의 환원이었습니다. 조율자의 정리에 따르면 이들은 하나의 벽으로 수렴했습니다. 리만 가설이 거짓인 명시적 모델 세계에 막히지 않는 공리 집합은 완전한 것 하나뿐이고, 모든 경로의 첫 실질적 단계는 결국 바일 양수성이거나 그것을 위장한 무언가였습니다.
사람은 이 수렴을 진전의 신호로 읽었지만 조율자는 정정했습니다. 지금까지 한 일은 "전문가 합의를 처음부터, 적대적으로, 상수까지 붙여 재유도한 것"이며, "벽이 어디 있는지 좁히는 것은 문을 찾는 것과 같지 않다"고요.
이어서 조율자는 "할 만한 것에서 그것 자체까지" 이어지는 6단 사다리를 제안했습니다. (0) 아이디어를 자동으로 반박하는 장벽 검사기, (1) 새 문이 필요 없는 무조건적 개선, 주로 영점 밀도 추정, (2) 뵈를링 일반 소수의 열린 칸, (3) 임계선 밖에서 양수성 제조, (4) 편극화된 대상 구성, (5) 리만 가설 그 자체. 사람이 "모든 단을 지금 다 하자"고 하자 조율자는 기대치를 미리 못 박고 병렬로 전부 띄웠습니다. "0에서 2단은 정리나 도구를 돌려줄 수 있고, 3단은 진짜 한 방이며, 4와 5단은 문샷이고 나는 지금 그렇게 이름 붙이고 들어간다."
0단의 산출물은 그 뒤 캠페인 전체의 규율 장치가 되었습니다. 리만 가설이 거짓인 모델 세계들을 모아 놓고 어떤 아이디어가 그중 무엇에 걸려 죽는지 자동으로 분류하는 도구였고, 실제로 106개 생존 아이디어를 기계적으로 전부 막아 냈습니다. 이후 대부분의 연구 지시서가 이 도구를 기준으로 작성되었습니다.
12시간 뒤, 장애물이 자원이 되다
4단을 맡은 에이전트 R4는 30분 만에 환원 정리 하나를 들고 돌아왔습니다. 어떤 "상자 빼기 조건" 구성이든 쉬운 요건은 공짜로 얻지만, 조건 개수가 바일 형식과 같을 때에만 작동한다는 것, 즉 "4단 = 5단"이라는 결론이었습니다. 그리고 장애물을 정량화했습니다. 소수와 감마 인자로 계산되는 부호 있는 "상태 밀도" \nu_X 가 중간 높이에서 임계선의 21\% 에서 38\% 에 해당하는 구간에서 음수가 되고, 거기서 만든 자연스러운 작용소는 음의 고윳값을 33개에서 153개까지 가진다는 것이었습니다. R4의 요약 문장은 "조건 공간은 힐베르트가 아니라 크레인(Kreĭn)이다"였습니다.
조율자는 이것을 사다리가 한 단 무너진 것으로 사람에게 보고한 뒤, 12시간 동안 아무것도 하지 않았습니다.
세션이 21시간쯤 지나고 띄워 둔 실행이 거의 전부 부정적으로 돌아온 시점에 사람이 "더 많은 아이디어와 방향"을 요청했습니다. 이때 조율자가 내놓은 일곱 가지 중 두 번째가 R4의 장애물을 자원으로 다시 읽은 것이었습니다. 자연스러운 에르미트 형식이 부정부호라면 폰트랴긴 공간(Pontryagin space) 작용소 이론이 적용된다, 폰트랴긴과 크레인-랑거의 정리에 따르면 음의 지표가 \kappa 인 공간 위의 자기 수반 작용소는 실수 축을 벗어난 고윳값 쌍을 많아야 \kappa 개 가진다, 따라서 소수로 계산 가능한 유한 압축의 음의 지표를 위에서 누르면 임계선 밖 영점 개수가 눌린다는 것이었습니다.
부록은 이 재해석의 출처에 대해서도 조심스럽게 적어 둡니다. "폰트랴긴"과 "크레인-랑거"라는 단어는 조율자가 읽은 어떤 문서에도, 어떤 에이전트가 내려받은 자료에도 없었습니다. 다만 세션 초반에 읽은 106개 원장 항목 중에는 바일 양수성을 유한 그람 행렬의 부호수 진술로 기술한 것이 여럿 있었고, 그 노출이 재해석을 촉발했는지는 로그로 판정할 수 없다고 밝히고 있습니다.
E2의 3시간 34분
E2라는 이름의 에이전트에게 나간 지시서에는 R4의 파일, 다룰 대상, 먼저 증명할 추측, 프로그램, 상금, 그리고 지표와 영점 개수의 비에 대한 삼분법 예측이 담겼습니다. E2는 추측을 수정된 형태로 증명했고, R4의 작용소는 바일 형식의 압축이 아니라는 것, 그리고 정직하게 정의한 유한 음의 지표는 항등적으로 0이라는 것을 밝혔습니다. 지시서가 제시한 세 가지 경우 어디에도 속하지 않는 네 번째 경우였고, 지시받은 경로는 비어 있었습니다.
E2의 전체 대화 기록 은 68페이지 분량으로 별도 공개되어 있습니다. 3시간 34분 동안 54개의 모델 메시지와 53회의 도구 호출이 있었고, 네트워크 호출은 한 번도 없었습니다. 인용은 전부 기억이나 지시서, 읽은 파일에서 나왔습니다. 시간 순으로 세 지점이 특히 눈에 띕니다.
22시 18분. 계산을 시작하기도 전에, 지시서가 다루라고 한 그 양이 "모든 계산 가능한 범위에서 항등적으로 0이다. 맞출 것이 없다"고 선언했습니다. 이 시점에 E2는 선행 실행 R4의 표제 주장까지 철회합니다. "'조건 공간은 크레인'을 철회한다. 그곳에서는 힐베르트이며(리만 가설 아래에서 그래야 하듯), 리만 가설이 눈에 보이게 실패할 때에만 정확히 크레인이다."
22시 31분. 지시서가 요청한 수치 실험 스크립트 exp1.py 를 쓰는데, 표 헤더에 지시서에 없던 열 하나가 들어갑니다. 스크립트 자체의 설명은 이렇습니다. "대각합과 제곱의 대각합만으로(소수로 계산 가능한 수들만으로) 양수임이 증명 가능한 고윳값의 비율: n_+ \ge (\mathrm{tr})^2/\mathrm{tr}(\cdot^2)." 이 한 열이 최종 정리의 소수 쪽 절반입니다. 정작 그 실행은 도구 시간 제한 10분에 걸려 종료 코드 143으로 죽었고 표는 출력되지 않았습니다.
23시 48분. 약 37분의 침묵 뒤 1/2 논증 전체를 "관성의 이중 사용(THE DUAL USE OF INERTIA)"이라는 제목으로 한 번에 써 내려갔습니다. 음의 지표를 위에서 누르는 대신 양의 지표를 소수 쪽 대각합으로 아래에서 받치고, 임계선 밖 쌍을 리만-폰 망골트 공식에 대고 이중 계수하여, 무조건적으로 영점의 최소 절반이 임계선 위에 있다고 주장하는 논증입니다. 목표는 지시서의 것이었지만 메커니즘은 지시서에 없었습니다.
그리고 마지막으로 E2는 자기 결과가 틀릴 수 있는 방식을 스스로 순위 매겨 적어 두었습니다. 1위는 "너무 강해서 새로울 수 없다"였습니다. "논증이 짧고 1970년대 도구만 쓴다. 이미 알려져 있거나(나는 참고문헌을 모른다), 내가 못 보는 오류가 있다." 2위부터 4위는 커널 말단 효과, \lambda = 1 에서의 몽고메리-본 단계, 창함수의 테이퍼 여유(taper margin)였고, 여기에 이런 판정을 덧붙였습니다. "(2)부터 (4)까지는 어느 것도 상수 1/2 를 움직일 수 없다. (1)만이 결과를 죽일 수 있다." 같은 문서의 다른 절에서는 이 방법으로 1/2 를 넘으려면 소수 쌍 정보나 진짜로 새로운 양수성 입력이 필요하다고 적었는데, 그 천장은 다음 날 아침 실행이 넘어섰습니다.
"내 사전 확률은 틀렸다는 쪽입니다"
E2의 주장이 도착했을 때 조율자가 사람에게 한 첫마디는 이것이 특별한 주장이며 "내 사전 확률은 틀렸다는 쪽입니다(my prior is that it's wrong)"였습니다. 용의자 둘도 지목했습니다. 국소화(창 밖의 영점이 여전히 양의 제곱을 기여할 가능성)와 소수 쪽 계산에 리만 가설이 숨어 들어갔을 가능성이었습니다.
10분 안에 적대적 심사 에이전트 셋이 나갔습니다. 이 배치가 주목할 만합니다.
- 서로를 읽지 못하게 차단했습니다. 세 심사자는 다른 심사자의 보고서에 접근할 수 없었습니다.
- 각자에게 하나의 이음매만 배정했습니다. A는 국소화, B는 소수 쪽, C는 선형대수와 계수입니다.
- 공격 계획까지 함께 줬습니다. A에게는 반례를 수치적으로 만들어 보라고 지시했고, C에게는 리만 가설이 거짓임이 알려진 함수에 논증을 적용해 "너무 많은 것을 증명하는지" 보는 시험을 시켰습니다.
조율자는 심사 결과가 나오기 전에 사람에게 위치를 명확히 했습니다. "저는 영점의 절반이 선 위에 있다고 말하고 있는 게 아닙니다. 한 에이전트가 그런 결론의 논증을 만들어 냈다고 말하고 있는 겁니다."
셋 다 "내 이음매는 버틴다"로 돌아왔습니다. 그리고 셋 다 자기 몫 이상을 했습니다. C는 부호 블록과 2배 인자를 검증하고 명시 공식을 독립적으로 재구현했으며, 대븐포트-하일브론 함정이 물 수 없음을 보였고, 관성을 랭크로 바꾸면 서로 다른 영점의 3/4 이 나오고 따라서 단순 영점이 최소 절반이라는 관찰을 덧붙였습니다. 이 관찰이 나중에 논문의 진술 형태를 결정합니다. A는 창 가장자리에 수백 개의 합성 임계선 밖 영점을 심는 반례 사냥을 수행했고, 매번 증명서가 음수로 남는 것을 확인한 뒤 원고의 진짜 구멍 하나(시험 시스템의 질량 행렬에 대한 잘못된 전제)를 찾아 수리안을 제시했습니다. 질량 행렬을 통째로 버리고 계수 좌표에서 그람 행렬로 보조정리를 돌리라는 것이었습니다. B는 소수 쪽 이중합을 몽고메리-본 평균값 정리로 정확히 환원해 리만 가설급 입력이 들어가지 않음을 보였고, 같은 구멍을 독립적으로 발견했습니다.
조율자는 첫 두 판정이 나온 다음에야 E2의 증명 파일을 직접 열었습니다. "전달만 하고 있지 않기 위해서"였습니다. 그리고 자기 자리에서 핵심 단계를 깨뜨릴 수 없다고 보고했습니다. 부호는 영점 쪽에만 있고 크기는 소수 쪽에만 있는데, 소수 쪽에는 영점이 없다는 것이었습니다.
여기서 세 번째 판정을 기다리지 않고 검증을 확대합니다. 문헌 조사 에이전트가 쌍 상관 논문들을 전부 읽고 왜 같은 입력에서 저자들은 더 적게 끌어냈는지 물었고, 답은 그들이 커널의 항별 양수성으로 대각항에 넘어가는데 그것이 얇은 상자 가정을 요구한다는 것이었습니다. 같은 조사에서 Goldston과 Suriajaya가 몽고메리의 단순 영점 논증에서 리만 가설을 제거하는 문제를 열린 문제로 명시해 두었다는 사실, 그리고 E2의 첫 정리 중 음의 지표에 관한 절반이 이미 Bombieri의 2000년 노트에 있다는 사실도 확인되었습니다. 별도의 재유도 에이전트는 E2의 증명을 읽지 못한 상태에서 소수 쪽 점근식을 오차항까지 처음부터 다시 증명하고, 그 과정에서 심사자들이 찾은 것과 같은 잘못된 전제를 독립적으로 반증했습니다. 네 번째 심사자 D는 남은 다섯 가지 자잘한 구멍을 받아 그중 A의 수리안을 골라 엄밀화했습니다.
문헌 대조 결과가 특히 결정적이었습니다. E2는 네트워크 접근이 없었고 기억에만 의존해 Baluyot, Goldston, Suriajaya, Turnage-Butterbaugh의 무조건적 쌍 상관 정리를 가장 가까운 선행 연구로 지목했는데, 심사자들이 그 네 이름을 검색해 논문을 찾아냈고 E2의 소수 쪽 입력이 그 논문의 출판된 정리 1과 (평활화 형태로) 같다는 것을 확인했습니다. 주장 전체의 무게가 출판된 무조건적 점근식 하나 위에 얹혀 있다는 뜻입니다.
사람이 이 논문이 리만 가설을 증명하거나 반증하느냐고 묻자 조율자의 답은 이랬습니다. "아닙니다. 단호하게, 모호함 없이." 임계선 위 비율 정리는 리만 가설에 대해 어느 방향으로도 증거가 되지 않으며, "나 자신의 미래 버전을 포함해 누구든 그렇게 표현한다면 반박하겠다"고요.
1/2에서 2/3으로: 죽은 실행에서 건진 다섯 줄
1/2 을 2/3 으로 밀어 올리는 단계에서 조율자의 진단은 지렛대가 정확히 둘이라는 것이었습니다. 창함수를 최적화해 4/3 을 낮추거나, 임계선 밖 쌍의 비용을 2 대 1보다 싸게 만들거나. 각각에 에이전트 하나씩을 붙였습니다.
창함수 에이전트는 최적해가 몽고메리-테일러 창임을 닫힌 형태로 찾아냈지만 이득이 미미했습니다. 1/2 이 0.5066 이 되는 정도였고, 결론은 "2/3 도달 실패"였습니다. 고차 모멘트 에이전트는 깔끔한 no-go를 돌려줬습니다. 무조건적 고차 모멘트가 존재하는 대역폭에서는 방법론 자체의 상한이 모든 것을 죽인다는 내용이었습니다.
남은 것은 E2-pairs였습니다. 이 에이전트는 입력 파일 네 개를 읽은 뒤 1시간 30분 침묵했고, 이어 1시간 동안 수치 실험을 하며 자기 지시서의 전제를 반증했습니다. 프로베니우스 노름의 정수 하한은 상호작용을 견디고, 모든 이차 강화는 실패하며, 올바른 부등식은 질량에 대해 선형이라는 결론이었습니다. 특히 정규화된 쌍 벡터에서 \|M\|_F^2 의 최솟값이 정확히 n_{on} + 4n_p 로, 코시-슈바르츠 하한보다 엄격하게 위에 있다는 극단값 실험이 방향을 정했습니다. 실행 3시간 남짓 만에 폰 노이만 대각합 부등식으로 다섯 줄에 증명되는 추상 행렬 부등식을 디스크에 썼습니다. 그리고 4분 뒤 인프라 오류로 문장 중간에서 죽었습니다. 응용 절은 한 줄도 쓰이지 않은 상태였습니다.
조율자는 죽은 에이전트의 디렉터리를 읽었고, 그 파일이 무엇인지 알아봤습니다. "오늘 밤 일어난 가장 중요한 일"이라고 표현했습니다. 다섯 줄 증명을 한 줄씩 직접 검토해 옳다고 판정하고, 계보도 밝혔습니다. 이 보조정리의 선형화는 몽고메리의 정수 단계 m^2 \ge 2m-1 을 정수 중복도에서 실수 고윳값으로 옮긴 것이고, 폰 노이만 부등식은 임계선 위 부분과 밖 부분을 분리해 그 적용을 가능하게 해 주는 장치라는 것입니다.
7분 안에 세 가지를 했습니다. 같은 에이전트를 7개 항목 체크리스트와 함께 재개했고, 보조정리와 응용을 공격할 적대적 심사자 X를 띄웠으며, 아무것도 읽지 않은 상태에서 보조정리를 맨 진술만 보고 다시 증명할 심사자 Y를 띄웠습니다. 재개된 실행은 11분 만에 목표에 도달했습니다. 체크리스트가 필요하다고 예상했던 쌍별 추정은 불필요하다고 판단해 버리고 한 줄 계산으로 대체했습니다.
Y는 2분 안에 독립적인 증명을 디스크에 올렸고, 조직 방식이 달랐으며 등호 성립 조건까지 포함했습니다. 십만 번의 무작위 시행과 수백 번의 적대적 시행 뒤 보조정리가 최적임을 선언했고, 2/3 이 따라 나온다는 확신도(credence)를 0.93 으로 보고했습니다. X는 기록 전체에서 가장 냉정한 숫자를 내놨습니다. 보조정리 자체는 0.99 이상이지만, "무조건적으로 2/3" 이라는 주장 전체는 약 0.4 라는 것이었습니다. 이제 특별한 것 전부가 아직 검토되지 않은 소수 쪽 배경에 얹혀 있다는 이유에서였습니다. X는 새 부등식이 크기 조정 불변이 아니어서 절대 정규화가 필요하다는 단서도 덧붙였고, 그 단서가 논문에 반영되었습니다.
조율자가 이 보조정리에 "랭크-대각합 부등식"이라는 이름을 붙였고, 그 이름이 논문에 그대로 실렸습니다. 최종 초안에 대한 판정은 이랬습니다. "다음 독자는 사람이어야 한다."
발표된 논문은 그 기록보다 한 걸음 더 갔다
여기서 부록과 최종 논문의 숫자가 갈리므로 짚어 두겠습니다.
E2-pairs가 재개된 실행에서 도달한 2/3 은 임계선 위에 있는 서로 다른 영점 의 비율이었습니다. 같은 실행은 단순성 질문에는 솔직하게 부정적으로 답했습니다. 이 경로로 단순 영점은 1/3 밖에 나오지 않으며, (m-1)(m-2) \ge 0 수준의 정수성은 영점 간 상호작용 때문에 무너진다는 것이었습니다. 부록이 기록한 시점의 논문 진술은 그래서 "임계선 위 서로 다른 영점 2/3, 임계선 위 단순 영점 1/2, 서로 다른 영점 3/4"였고, 논문 자신이 Goldston-Suriajaya의 열린 문제와의 일치를 과장하지 말라는 단서를 달아 두었습니다.
발표된 논문은 그 간극을 닫았습니다. 정리 A(i)의 재조합 (P_1, Q') 이 단순 영점을 랭크 쪽으로 보내고 중복 점과 임계선 밖 쌍을 지표 쪽에 일률적으로 얹으면서, E2-pairs가 무너진다고 본 (m-1)(m-2) \ge 0 수준이 회복됩니다. 그 결과 임계선 위 단순 영점이 2/3 으로, 서로 다른 영점이 5/6 으로 올라갔습니다. 캠페인 기록에 남은 숫자와 최종 논문의 숫자가 다른 이유가 이것입니다.
Lean 저장소는 이 두 층을 나란히 보존해 둡니다. 코시-슈바르츠 형태(단순 1/2, 서로 다름 3/4, 최적 창에서 0.50659)와 중복도를 반영한 랭크-대각합 형태(단순 2/3, 서로 다름 5/6)가 각각 별도의 도전 설정으로 형식화되어 있습니다.
조율자가 준 것과 주지 않은 것
부록은 두 창의적 단계에서 역할 분담이 같았다고 정리합니다.
1/2 단계에서 조율자는 대상(부호수로 읽는, 소수로 계산 가능한 바일 형식의 유한 압축), 증명할 추측, 상금을 제공했지만 메커니즘의 방향을 반대로 가리켰습니다. 음의 지표를 위에서 누르라고 했고, E2는 그 경로가 비어 있음을 발견한 뒤 메커니즘(양의 지표, 이중 계수, 소수로부터의 코시-슈바르츠)을 스스로 공급했습니다.
2/3 단계에서 조율자는 정수 템플릿, 5/6 에서 2/3 으로 가는 산술, 무엇이 사라졌는지에 대한 정확한 진단을 줬지만, 어떻게 되찾을지에 대해서는 틀린 예측을 줬습니다. 고차 소수 쪽 모멘트가 유망한 지렛대라고 안내했고, 진짜 스펙트럼 정수성은 상호작용 때문에 견고하게 거짓이라고 판단했습니다. E2-pairs는 지시서의 조언을 거슬러 부등식을 공급했습니다.
대신 조율자가 실제로 기여한 것은 성격이 다릅니다. 심사 구조(맹검, 이음매 분리, 공격 계획 동봉, 사전 정보 없이 초안만 읽는 심사, 처음부터의 재유도), 거의 모든 연구 지시서에 리만 가설이 거짓인 통제군을 요구한 것, 결정적인 두 순간에 직접 한 줄씩 검토한 것, 사람과의 모든 교환에서 "비율 정리"와 "리만 가설" 사이에 방화벽을 유지한 것, 그리고 결과를 정리할 때 쓴 이름과 서술의 틀입니다.
부록은 조율자 자신의 기억이 어긋난 두 지점도 로그를 대조해 교정합니다. 질량 행렬을 걷어내는 수리는 D가 아니라 A가 제안하고 D가 엄밀화한 것이고, Y의 공으로 돌린 "간소화된 응용 계산"은 재개된 E2-pairs 실행이 Y가 그것을 읽기 15분 전에 직접 쓴 것이었습니다. 자기 보고를 믿지 않고 로그로 검증하는 절차가 실제로 오류를 잡아낸 사례입니다.
수치 검증은 어떻게 했는가
이 캠페인은 순수 기호 조작만으로 굴러가지 않았습니다. 증명의 각 부품이 수치로 확인되었고, 그 기록이 남아 있습니다.
- 명시 공식의 양쪽 대조: 소수만으로 계산한 값이 영점 쪽 값과 10^{-6} 까지 일치했습니다. 유한 음의 지표가 항등적으로 0이라는 판정도 X = 10^2 에서 10^6 까지, 두 개의 높이 구간에서 확인되었습니다.
- 블록 구조: 쌍 블록에 대한 대수가 10^{-14} 까지 확인되었고, 복소 인수에서의 푸아송 항등식도 함께 검증되었습니다. 블록 사이 교차항은 부호가 정해지지 않아 항별 대각 지배가 성립하지 않는다는 사실도 이 실험에서 나왔습니다.
- 증명서의 실제 성능: 소수만으로 계산한 통계가 T 가 커질수록 0.766 \to 0.762 \to 0.757 로 움직여, 점근값 0.750 에 위에서 수렴해 갔습니다(T = 10^4, 5 \times 10^4, 10^6). T = 1000 의 참 영점에서 새 증명서는 0.61N 에서 0.63N 을 주어, 이전 1/2 증명서의 0.38N 에서 0.40N 을 크게 앞섰습니다.
- 반례 사냥: 합성 배치들에 대해 증명서가 과대 인증하는 경우는 한 번도 없었습니다.
- 자기 오류 검출: 조건수가 나쁜 질량 행렬 축약에서 나온 허위 음의 고윳값 33개를 실행 스스로 잡아냈습니다.
캠페인의 다른 산출물
이 캠페인은 논문 외에 두 가지 주장을 더 냈고, 부록은 둘 다 등급을 낮춰 기록합니다.
바일 양수성: 소수가 하나씩 들어올 때 바일 형식의 양수성 여유가 지지 크기에 따라 어떻게 변하는지를 공 산술(ball arithmetic) 정밀도로 그렸더니 경험적으로 e^{-4\pi X} 법칙이 나왔고, 후속 에이전트가 그 메커니즘을 Connes와 Consani의 논문에서 찾아냈습니다(prolate spheroidal 고유값의 누출). 그 뒤 제타 영점을 전혀 쓰지 않고 구간 산술로, 소수 2, 3, 5, 7이 들어오는 지지 [1/3, 3] 까지 형식이 양수라는 컴퓨터 보조 증명을 만들었습니다. 다만 이 결과의 저자 자신이 리만 가설과 관련한 함의는 없다고 평가했고, 세션 안에서 독립적으로 재실행되거나 심사되지 않았습니다.
영점 밀도: 1단 에이전트가 표준 영점 밀도 표를 그 재료들로부터 다시 계산하다가, 참조 구현이 빠뜨린 1979년 Heath-Brown의 보조정리를 절제 실험으로 특정하고 얇은 구간 세 곳에서 작은 개선을 주장했습니다. 두 명의 맹검 심사자가 확인했고(한 명은 과도하게 일반화된 형태를 수정), 조율자는 이를 "논문이 아니라 짧은 노트" 수준의 장부 정리로 기록했습니다. 세션 안에서 아무도 그 노트를 쓰지 않았습니다.
숫자로 본 캠페인
블로그 각주는 60개 서브에이전트가 어떤 역할로 쓰였는지를 다음과 같이 분해합니다.
| 역할 | 개수 |
|---|---|
| 핵심 수학 아이디어를 만든 에이전트 | 2개 |
| 그 에이전트들에게 아이디어를 공급한 에이전트 | 13개 |
| 새 아이디어를 시도했으나 만들지 못한 에이전트 | 30개 |
| 논증의 정확성을 검증한 심사 에이전트 | 13개 |
| 초기 논문 작성을 도운 에이전트 | 2개 |
| 합계 | 60개 |
부록은 같은 60개를 회고적으로 일곱 갈래로 다시 정렬하는데, 갈래 이름만 다르고 분해는 같습니다. 위 표에서 가장 눈에 띄는 대비는 60개 중 2개입니다. 성공률이 아니라 실패를 값싸고 빠르게 처리하는 구조가 이 캠페인의 실제 설계입니다.
| 항목 | 값 |
|---|---|
| 총 출력 토큰 | 3,100만 |
| 세션 | Claude Code 2회 |
| 캠페인 소요 시간 | 사흘에 걸친 약 54시간 (재개 지시부터 최종 초안까지 약 38시간) |
| 첫 시도에서 만들어 시험한 아이디어 | 650개 (성공 0개) |
| 이전 세션이 남긴 생존 아이디어 원장 | 106개 |
| 조율자가 띄운 서브에이전트 | 60개 (58개 실행, 2개는 발사 2분 뒤 취소) |
| 실행된 셸 명령 | 2,400회 |
| 작성된 Python 스크립트 | 수백 개 |
| 신규성 확인을 위해 arXiv에서 내려받은 논문 | 54편 |
| 사람의 개입 | 한 줄짜리 지시 몇 개 |
사람의 몫도 기록에 남아 있습니다. 부록의 표현으로는 "내용상으로는 얄팍했고 방향으로는 결정적이었다"입니다. "2/3 으로 밀어라"라는 지시는 조율자가 3분 전에 스스로 예측했던 목표였고, 나머지 개입은 대체로 "계속해" 또는 "스스로를 믿어라" 계열의 격려였습니다. 블로그는 이 격려가 Claude의 초기 회의감을 넘기는 데 도움이 된 것으로 보인다고 적으면서, 야코비 추측(Jacobian conjecture)을 반증할 때도 비슷한 격려를 포함한 프롬프트를 썼다고 각주로 덧붙였습니다.
Lean 4 형식 검증
논문과 함께 공개된 zeta-23-lean 저장소는 정리 A부터 E까지를 sorry 없이 Lean 4로 형식화한 것입니다. Lean 툴체인은 v4.33.0-rc2, Mathlib 커밋은 51e6992efd06... 으로 고정되어 있습니다.
주목할 점은 가정을 남기지 않았다는 것입니다. 논증이 쓰는 해석적 입력(바일의 명시 공식, 리만-폰 망골트 영점 개수 공식, 감마 함수 비의 스털링 추정, 체비쇼프-메르텐스 소수합 추정, 몽고메리-본 일반화 힐베르트 부등식)이 모두 저장소 안에서 정리로 증명되어 있어서, 최상위 정리의 타입에 가설이 붙지 않습니다. #print axioms 를 각 헤드라인 정리에 돌리면 Lean의 표준 공리 세 개(propext, Classical.choice, Quot.sound)만 나오고 그 외에는 아무것도 나오지 않습니다.
git clone https://github.com/anthropics/zeta-23-lean.git
cd zeta-23-lean
lake exe cache get # 고정된 Mathlib 커밋의 사전 빌드 캐시 (수 GB)
lake build # Zeta23 라이브러리 빌드
lake build Solution Solution.Multiplicity Solution.XiPrime
# 15 + 12 + 6개 정리에 대한 공리 감사
lake env lean comparator/PrintAxioms.lean
lake env lean comparator/PrintAxioms/Multiplicity.lean
lake env lean comparator/PrintAxioms/XiPrime.lean
comparator/ 디렉터리는 leanprover/comparator 도전 형식으로 같은 정리들을 Mathlib만 상대로 한 번 더 진술합니다. 진술이 의도한 것과 같은지(statement equality)와 커널 재생(kernel replay)을 함께 검사하는 구조라, 형식화가 "증명은 통과하지만 진술이 엉뚱한" 실패 모드에 빠지지 않았음을 독립적으로 확인할 수 있습니다. 영점 개수 함수(counting function)들은 Mathlib의 riemannZeta 와 analyticOrderAt 로부터 직접 정의되고, 최상위 진술이 의존하는 정의 전체가 60줄 남짓한 파일 하나에 모여 있습니다.
theorem two_thirds_on_critical_line :
∀ ε > 0, ∃ T₀ : ℝ, ∀ T ≥ T₀, (2 / 3 - ε) * (Ncount T (2 * T) : ℝ) ≤ N0star T (2 * T)
theorem thmC₀_mult :
∀ ε > 0, ∃ T₀ : ℝ, ∀ T ≥ T₀, (5 / 6 - ε) * (Ncount T (2 * T) : ℝ) ≤ Ndist T (2 * T)
정리 A부터 E 외에 형식화된 것이 몇 가지 더 있습니다. 첫째, 랭크-대각합 증명서가 최적임을 Lean 안에서 증명해 두었습니다(Zeta23.ZeroSide.TightMult.lemmaR_tight). 직교 벡터 위에 놓인 중복도 m_j \le c 의 임계선 위 원자들과 고윳값이 c 인 쌍 블록 b 개에 대해 2c\,\mathrm{tr}(P+Q) - \|P+Q\|_F^2 가 닫힌 형태로 정확히 계산되므로, 이 양들만으로는 부등식을 개선할 수 없다는 뜻입니다. 둘째, \xi' 관련 정리 여섯 개가 들어 있는데, 여기에는 \xi' 의 모든 영점이 열린 임계 대역 안에 있다는 것과 \mathrm{Re}\,\xi'/\xi > 0 이 \mathrm{Re}\, s \ge 1 에서 성립한다는 것도 포함됩니다.
형식화 과정에서 Mathlib에 없던 두 가지가 새로 기여되었습니다. 에르미트 행렬에 대한 폰 노이만의 대각합 부등식과 에르미트 형식에 대한 실베스터 관성 법칙의 양방향입니다. 소수 관련 파일 일부는 PrimeNumberTheoremAnd 프로젝트에서 출처를 명시해 이식했습니다.
한 군데 예외가 있고, 저장소가 이를 명시합니다. 7.2절의 대역폭 1 천장 정리에 붙은 EnclOK 가설은 256개 정수 포함 구간에 대한 진술인데, 이 구간들은 Lean 밖에서 구간 산술로 얻어졌고 커널이 검사하지 않습니다. 그 아래 단계(255개의 근사 CUE 행 부등식, 가장자리 경계 |D(1)| \le 0.82395317, 해석적 안정성 부등식)는 커널이 decide 로 검사합니다. 정리 A와 B의 형식화 자체는 이 수치 인증과 무관하며 표준 공리 세 개에만 의존합니다.
한계와 이 결과가 아닌 것
논문 1.4절의 제목이 "What the results are not"입니다. 이 절이 하는 말을 그대로 옮기면 다음과 같습니다.
이 정리들은 하한일 뿐입니다. 나머지 1/3 의 영점이 임계선 밖에 있다는 것은 전혀 보이지 않았습니다. 단지 증명서가 그 영점들까지 닿지 못했을 뿐입니다.
방법론은 리만 가설의 참거짓에 둔감합니다. 사용된 입력들은 o(N) 개의 임계선 밖 영점에 대해 무감각하고, 리만 가설의 유사 명제가 거짓임이 알려진 대븐포트-하일브론 함수나 엡스타인 제타 함수에 대해서도 그대로 성립합니다. 7.2절은 극단적 가상 배치를 하나 계산해 둡니다. [T, 2T] 의 영점이 전부 임계선 밖 쌍이라면 \mathrm{rank}\, P = 0, n_+(Q) \le N/2 가 되고 보조정리 3.2가 \|\tilde{G}\|_{HS}^2 \ge 2N > \frac{4}{3}N 을 강제해 모순이 나옵니다. 그런데 그 모순이 보여 주는 것은 영점의 최소 2/3 이 그런 종류가 아니라는 것뿐이며, "이 방법론은 '2/3'과 '전부'를 구별하지 못합니다."
방법론의 천장이 가깝습니다. 같은 정보로는 더 나올 것이 없고, 이 경로로 2/3 을 넘기려면 푸리에 지지 1을 넘어서는 쌍 상관 정보가 필요합니다.
검증 상태를 층별로 이해할 필요가 있습니다. 논문 본문의 수학은 Lean으로 형식 검증되었고 Anthropic의 수학자 두 명이 독립 재유도를 수행했으며 외부 전문가 두 명이 원고를 읽었습니다. 반면 발견 과정을 기록한 95페이지 부록의 수학(실행 로그에 담긴 중간 주장 포함)은 독립 검증을 거치지 않았다고 문서 스스로 명시합니다. 캠페인의 다른 두 산출물(바일 양수성 인증, 영점 밀도 표 수정)은 세션 안에서 재실행되거나 심사되지 않았거나 장부 정리 수준으로 기록되었습니다. 그리고 캠페인 내부에서 초안을 심사한 것은 전부 다른 Claude 인스턴스였습니다.
이 연구가 남기는 질문
이 결과에서 ML 쪽 독자가 가져갈 만한 것은 상수 2/3 자체보다 그 상수가 만들어진 구조입니다.
먼저, 실패를 처리하는 비용이 설계의 중심입니다. 띄운 에이전트 60개 가운데 증명에 아이디어를 기여한 것은 2개뿐이지만, 새 아이디어를 만들지 못한 30개는 "여기는 막혔다"를 상수와 함께 확정해 주는 역할을 했습니다. 리만 가설이 거짓인 통제군을 거의 모든 지시서에 요구한 것도 같은 맥락입니다. 잘못된 논증이 "너무 많은 것을 증명하는지" 자동으로 걸러 내는 장치이기 때문입니다.
다음으로, 검증자의 독립성을 구조로 강제했습니다. 심사 에이전트를 서로 읽지 못하게 하고, 각자에게 하나의 이음매만 주고, 공격 계획을 함께 넘기고, 아무것도 읽지 않은 상태에서 맨 진술만 보고 다시 증명하게 하는 배치는 "한 번 더 검토해 줘"와 질적으로 다릅니다. 실제로 원고의 진짜 구멍은 심사 에이전트 A가 지시받은 반례 사냥을 수행하다가 발견했습니다.
세 번째로, 추론을 파일로 강제한 것이 사후 검증을 가능하게 했습니다. 지시서가 모든 실질적 추론을 notes.md 와 스크립트로 쓰라고 요구했고, assistant 메시지 길이에 상한을 두었으며, 첫 10회 도구 호출 안에 보고서를 체크포인트하게 했습니다. 그 덕분에 모델의 내부 추론이 전사 기록에 남지 않았는데도 논증 대부분을 따라갈 수 있고, 조율자가 죽은 실행의 디렉터리에서 다섯 줄 증명을 건져낼 수 있었습니다. 에이전트 파이프라인에서 관측 가능성을 로그 수집이 아니라 작업 규율로 확보한 사례입니다.
마지막으로, 주장의 강도를 스스로 낮추는 절차가 기록 전체에 깔려 있습니다. "내 사전 확률은 틀렸다는 쪽입니다", "한 에이전트가 그런 결론의 논증을 만들어 냈다고 말하고 있는 겁니다", E2가 자기 결과의 1순위 실패 요인으로 적은 "너무 강해서 새로울 수 없다", 심사자 X의 "0.4", 그리고 "다음 독자는 사람이어야 한다"까지, 결과가 커질수록 확신 표현을 낮추는 쪽으로 움직였습니다. 자동화된 연구 파이프라인에서 가장 위험한 실패 모드가 "그럴듯한데 틀린 결과가 검증을 통과하는 것"임을 생각하면, 이 절차 자체가 결과 못지않은 산출물입니다.
Anthropic은 Claude가 쓴 기법이 리만 가설의 증명으로 이어지리라고 기대하지 않는다고 명시했습니다. 논문 7.2절도 같은 말을 수학적으로 합니다. 그럼에도 46년에 걸쳐 1/3 에서 5/12 로 움직인 상수가, 기존 연구들이 이미 깔아 놓은 재료 위에서 관성 법칙과 다섯 줄짜리 행렬 부등식으로 2/3 이 되었다는 사실은 남습니다.
More than two thirds of the zeros of the Riemann zeta function are simple and on the critical line 논문
Learning more about Claude's mathematical capabilities 소개 블로그
zeta-23-lean GitHub 저장소
67% of the zeroes are on the line (Anthropic 수학자들의 전문가용 노트)
How the two-thirds argument was found: two agent runs and their literature
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